Высшая математика

Программа:

1. Матрицы и действия над ними. Определители различных порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения. Обратная матрица.
2. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Метод Гаусса.
3. Векторы. Линейная независимость векторов. Базис и размерность линейного пространства. Векторное и смешанное произведение векторов. Приложения векторов к решению задач геометрии и механики.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложения векторов к решению задач геометрии и механики

1. Уравнение плоской линии. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору, по точке и направляющему вектору, по двум точкам, по точке и угловому коэффициенту. Угол между двумя прямыми. Общее уравнение прямой. Прямая в отрезках. Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, по трем точкам, общее уравнение плоскости, уравнение плоско-сти в отрезках. Угол между плоскостями.
2. Уравнение прямой в пространстве: векторное, каноническое, параметрическое, как линия пере-сечения двух плоскостей. Угол между двумя прямыми. Прямая и плоскость: точка пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью.
3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
4. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Исследование общего уравнения линии второго порядка не содержащего члена с произведением текущих координат
5. Поверхности. Цилиндрическая, коническая и поверхности вращения. Метод сечения.

1. Функция одной действительной переменной. Сложная функция. Гиперболические функции. Функции заданные неявно, параметрически. Полярная система координат. Задание функции в полярной системе координат. Предел функции. Дробно-рациональная функция и ее предел. Функция одной переменной. Построение графиков функций, заданных в параметрическом виде и в полярной системе координат. Вычисление пределов дробно-рациональной функции.
2. Первый и второй замечательные пределы.
3. Число «е» и связанные с ним функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых.
4. Первый и второй замечательные пределы
5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Свойства непрерывных функций на отрезке. Точки разрыва функции, их классификация. Построение графиков разрывных функций.
6. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. Построение графи-ков.

1. Производная функции в точке. Необходимое условие существования производной. Производная сложной функции, гиперболических функций. Основная таблица производных. Производная функции заданной неявно. Логарифмическое дифференцирование.
2. Основные правила дифференцирования.
3. Производные сложной, неявной, обратной и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование
4. Дифференцирование обратной и параметрически заданной функции. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
5. Дифференциал функции. Раскрытие не-определенностей по правилу Лопиталя. Приложения производной.
6. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Экстремум функции. Достаточное условие экстре-мума функции с помощью второй производной.
7. Экстремумы функции. Выпуклость, во-гнутость кривой. Асимптоты графика. Полное исследование функции и построение ее графика. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты графика. Общая схема исследования и построения графика функции.

1. Функция нескольких переменных. Область определения, предел и непрерывность функции. Частные производные и их геометрический смысл. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые и достаточное условия.
2. Функция нескольких переменных. Частные производные различных порядков. Полный дифференциал. Производная по направлению. Градиент.
3. Дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением
4. f (x,y) = z. Геометрический смысл дифференциала для функции двух переменных. Производная сложной функции.
5. Частные производные неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные сложной функции.
6. Неявные функции и их дифференцирование. Касательная плоскость и нормаль к поверхности заданная неявным уравнением.
7. Условные и безусловные экстремумы функции нескольких переменных. О наибольшем и наименьшем значении функции в замкнутой области
8. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух независимых переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Задача о наибольшем и наименьшем значениях функции в замкнутой области.
9. Условный экстремум и метод наименьших квадратов для линейной и квадратичной зависимости между двумя переменными.

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое и достаточное условия сходимости. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Признаки сходимости для знакоположительных рядов. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов.
2. Функциональные ряды. Область сходимости. Мажорируемые ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Интегрирование и дифференцирование рядов. Степенные ряды. Основные понятия. Теорема Абеля. Определение радиуса сходимости степенного ряда.
3. Интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Формулы Маклорена и Тейлора. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. Приложения степенных рядов.
4. Ряды Фурье. Разложение периодической с периодом 2π функции в ряд Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Разложение периодической с произвольным периодом функции в ряд Фурье. О разложении в ряд Фурье непериодической функции.
5. Теория вероятностей и математическая статистика
6. Комбинаторика. Предмет теории вероятностей. События и их виды. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности события. Теоремы сложения вероятностей. Схема случаев. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Независимые события.
7. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра- Лапласа. Предельная теорема Пуассона. Дискретная случайная величина. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
8. Непрерывная случайная величина. Функция распределения. Плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
9. Система двух случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины. Зависимые и независимые случайные величины.
10. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. Линия регрессии. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
11. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Оценки параметров распределения. Требования, предъявляемые к оценкам. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод максимального правдоподобия. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины.